História da Trigonometria

A palavra Trigonometria tem origem grega: TRI (três), GONO (ângulo) e METRIEN (medida). Etimologicamente, significa medida de triângulos. Trata-se, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo.

Apesar dos egípcios e dos babilónios terem utilizado as relações existentes entre lados e ângulos dos triângulos, para resolver problemas, foi a atracção pelo movimento dos astros que impulsionou a evolução da Trigonometria. Daí que, historicamente a Trigonometria apareça muito cedo associada à Astronomia.

No séc. III a.C., Arquimedes de Siracusa no seguimento do trabalho que desenvolveu para calcular o perímetro de um círculo dado o respectivo raio, calculou o comprimento de grande número de cordas e estabeleceu algumas fórmulas trigonométricas.

As medições e os resultados dos cálculos feitos pelos astrónomos eram registados em tábuas. As tábuas babilónicas revelam algumas semelhanças com as tábuas trigonométricas.

Surgiu então, na segunda metade do século dois a.C., um marco na história da trigonometria: Hiparco de Nicéia (180-125 a.C.). Influenciado pela matemática da Babilónia, acreditava que a melhor base de contagem era a 60. Não se sabe exactamente quando se tornou comum dividir a circunferência em 360 partes, mas isto parece dever-se a Hiparco, assim como a atribuição do nome arco de 1 grau a cada parte em que a circunferência ficou dividida. Ele dividiu cada arco de 1° em 60 partes obtendo o arco de 1 minuto. Hiparco baseava-se numa única função, na qual a cada arco de circunferência de raio arbitrário, era associada a respectiva corda.

Hiparco construiu o que foi presumivelmente a primeira tabela trigonométrica com os valores das cordas de ângulos de 0° a 180°.

Assim, Hiparco representou um grande avanço na Astronomia e por isso recebeu o título de “Pai da Trigonometria”.

Outra tábua, também de cordas, mas mais completa foi construída por Ptolomeu (séc. II). Esta já possuía cordas para ângulos crescentes, desde 0º até 180º, em intervalos de 1/2 graus. O raio usado era diferente do de Hiparcus, sendo também fixo e muito grande. Note-se que o facto de usar um raio muito grande diminui o uso de fracções.

Foi Ptolomeu (séc. II) quem influenciou o desenvolvimento da Trigonometria, durante muitos séculos. A sua obra Almagesto contém uma tabela de cordas correspondentes a diversos ângulos, por ordem crescente e em função da metade do ângulo, que é equivalente a uma tabela de senos, bem como uma série de proposições da actual disciplina. No Almagesto reuniu os conhecimentos existentes na época sobre Astronomia e Trigonometria e a que os árabes tiveram acesso. Estes introduziram os conhecimentos de Trigonometria para a Europa através de Espanha.

A relação da Astronomia com a Trigonometria fez com que esta se desenvolvesse aplicada a triângulos curvos de lados curvilíneos que se formam sobre a superfície esférica. Assim, a Trigonometria Esférica desenvolveu-se anteriormente à Trigonometria Plana, o que se deveu ao facto de a Trigonometria Esférica ser muito utilizada nos cálculos astronómicos e na navegação, sendo sistematizada por árabes e hindus até meados do séc. XIII. A contribuição destes foi bastante grande, tendo calculado tabelas de senos para intervalos com variação de 15’. A palavra sinus – seno – é a tradução, em latim, da grafia árabe do sânscrito jyã. O seno correspondia a metade da corda do arco duplo e os árabes e os hindus usavam, geralmente, círculos de raio unitário.

O recurso constante ao círculo trigonométrico e a aplicação da Trigonometria à resolução de problemas algébricos é feita por Viète– séc. XVI – que estabeleceu também alguns resultados importantes.

Contudo, foi Euler (séc. XVIII) que, ao usar invariavelmente o círculo de raio um, introduziu o conceito de seno, de co-seno e de tangente como números, bem como as notações actualmente utilizadas.

O primeiro vestígio do tratamento funcional da Trigonometria surgiu em 1635, quando Roberval fez o primeiro esboço de uma curva do seno. Mas, a ligação da Trigonometria à Análise só é feita por Fourier (séc. XIX), como consequência do estudo dos movimentos periódicos por ele efectuado.

As funções trigonométricas como o seno, o coseno e a tangente, relacionam medidas de ângulos, a medidas de segmentos de recta a eles associados.

Actualmente a trigonometria não se limita a estudar os triângulos. Encontramos aplicações na mecânica, electricidade, acústica, música, astronomia, engenharia, medicina, enfim, em muitos outros campos da actividade humana. Essas aplicações envolvem conceitos que dificilmente lembram os triângulos que deram origem à trigonometria:

• Há métodos actuais de análise em medicina, onde são enviadas ondas ao coração, de forma que efectuem interacções selectivas com os tecidos a observar

• Geodésia: estudo da forma e dimensão da Terra

• Método do momento eléctrico para cálculo de linhas de transporte de energia eléctrica: permite calcular com grande sensibilidade a potência de transporte de linhas, as perdas e a distância a que ela poderá ser transportada

• Estudo da intensidade luminosa: calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma fonte luminosa para uma determinada direcção

• Instrumentos de medidas de ângulos: topografia, ciência náutica e cartografia

• Numa pesquisa realizada em 1997, com engenheiros que actuam em empresas de grande porte da região da Serra Gaúcha, foi constatado que a trigonometria é o conceito de matemática básica mais utilizado por eles no seu cotidiano.

Fonte: http://migre.me/5uwsU

Definição das relações trigonométricas – Seno, Cosseno e Tangente

O triângulo é a figura mais simples e uma das mais importantes da Geometria, ele é objeto de estudos desde os povos antigos. O triângulo possui propriedades e definições de acordo com o tamanho de seus lados e medida dos ângulos internos.

No triângulo retângulo existem algumas importantes relações, uma delas é o Teorema de Pitágoras, que diz o seguinte: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. Essa relação é muito importante na geometria, atende inúmeras situações envolvendo medidas.

As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno, cosseno e tangente.

Vamos determinar as relações de acordo com o triângulo BAC com lados medindo a, b e c.

senoB = b/a

cossenoB = c/a

tangenteB = b/c

senoC = c/a

cossenoC = b/a

tangenteC = c/b

A trigonometria possui diversas aplicações no cotidiano, abrange áreas relacionadas à Astronomia, Física, Geometria, Navegação entre outras.

Fonte: http://migre.me/5ywA3

Resolução de problemas contextualizados envolvendo as relações trigonométricas do triângulo retângulo.

Mostro aqui um exemplo de um problema que envolve as relações trigonométricas do triângulo retângulo.

Uma pessoa está distante 80m de um prédio e vê o ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 16° em relação à horizontal. Qual é a altura do prédio? Dado: tg 16° = 0,28

x = cateto oposto ao ângulo de 16°

80 = cateto adjacente ao ângulo de 16°

tg 16° = x/80 = 0,28 = x/80 = x 22,40m

Resposta: A altura do prédio é aproximadamente 22,40m.

Fonte: http://migre.me/5yx0j

Fenômenos Periódicos

O que são ?

Um fenômeno periódico, é aquele que se repete após o mesmo intervalo de tempo.Muitas situações ou fenômenos à nossa volta são periódicos, isto é, que de tempo em tempo se repetem.Se um fenômeno é sabidamente periódico, podemos prever com facilidade o que ocorre em momentos não observados.Olhando o céu um exemplo mais simples de um fenômeno Periódico é o dia.

Por que são importantes ?

Por que eles podem ser muito úteis para medir passagem do tempo.Os corpos celestes foram muito importantes por que,entre eles, há que executam um movimento periódico que podem ser percebidos por nós e por isto, foram utilizados para construir o nosso calendário.Estando na Terra,como nós estamos, e olhando para o céu nós podemos perceber muitos movimentos do Sol e da Lua. No movimento da lua acontece muito mais coisas.

Fonte: http://migre.me/5ywH6

Círculo trigonométrico – medidas de arcos em radianos – correspondência entre radianos e graus; arcos côngruos – menor determinação positiva

Fonte: http://migre.me/5y1jU

Funções trigonométricas – seno, cosseno e tangente: amplitude, domínio, período, imagem e gráfico

Função seno

Associa a cada número real x o número y = senx

Amplitude: 1 que por sua vez é o mesmo valor do raio do círculo trigonométrico onde ela foi definida.

Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: D = R

Período: É sempre o comprimento da senóide. No caso da função , a senóide caracteríza-se pelo intervalo de 0 a 2π, portanto o período é 2π.

Conjunto Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores:

Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2π. Esse intervalo é denominado senóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.

Função cosseno

Associa a cada número real x o número y = cosx

Amplitude: 1

Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: D = R

Período: É sempre o comprimento da cossenóide. No caso da função f(x) = cos x , a cosenóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a 2π, portanto o período é 2π.

Conjunto Imagem: Como cosseno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores:

Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2π. Esse intervalo é denominado cossenóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.

Função tangente

Associa a cada número real x o número y = tgx

Domínio: A função da tangente apresenta uma peculiaridade. Ela não existe quando o valor decosx = 0 (não existe divisão por zero), portanto o domínio são todos os números reais, exceto os que zeram o coseno.

Período: π

Conjunto Imagem:

Gráfico: Tangentóide.

Fonte: http://migre.me/5y0TC

http://migre.me/5y0Xc

http://migre.me/5y16r

Equações trigonométricas simples envolvendo seno, cosseno e tangente

Quando encontramos função trigonométrica da incógnita ou função trigonométrica de alguma função da incógnita em pelo menos um dos membros de uma equação, dizemos que esta equação é trigonométrica.

Exemplos:

sen x + cos x = e sen 2x = cos² x são equações trigonométricas.

x + ( tg 30º) . x² e x + sen 60º = não são equações trigonométricas.

Dizemos que r é uma raiz ou solução da equação trigonométrica f(x) = g(x) se r for elemento do domínio de f e g e se f(r) = g(r) for verdadeira.

Na equação sen x - sen = 0, por exemplo, os números são algumas de suas raízes e os números não o são.

O conjunto S de todas as raízes da equação é o seu conjunto solução ou conjunto verdade.

Quase todas as equações trigonométricas, quando convenientemente tratadas e transformadas, podem ser reduzidas a pelo menos uma das três equações seguintes:

sen x = sen a; cos x = cos a; tg x = tg a

Estas são as equações trigonométricas elementares ou equações trigonométricas fundamentais.

Fonte: http://migre.me/5y185

Gráficos de funções periódicas envolvendo senos e cossenos

Exemplo de um gráfico de funções do tipo y = C + AsenBx ou y = C + AcosBx; período e amplitude de uma função trigonométrica, equações trigonométricas.

Para discutir a variação que a constante C causa ao ser incluída na equação da função elementar, construímos o gráfico da função y = 1 + 2sen4x a partir de uma tabela de valores. Salientamos que pelo fato de conhecermos a forma do gráfico y = senx (vide http://migre.me/5ywhz) e os valores dos senos dos arcos 0, , ,,é interessante que estes sejam os valores atribuídos ao que se quer calcular o seno, isto é, a 4x. Assim, pode-se construir a seguinte tabela:

O desenho dos gráficos de y = senx e de y = 1 + 2.sen4x em um único sistema de eixos coordenados permitem que sejam discutidas as modificações que as constantes introduzidas na equação causam ao gráfico elementar.

Observa-se que em relação ao gráfico de y = senx o gráfico de y = 1 + 2sen4x foi deslocado verticalmente 1 unidade para cima, teve seu período diminuído 4 vezes e sua amplitude dobrada, efeitos estes causados, respectivamente, pelas constantes 1,4 e 2.

Fonte: http://migre.me/5uwBk